Determinación del tamaño, masa y la densidad de
Júpiter
Objetivos específicos
-
Aplicación de la leyes de Kepler.
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Demostración de como inferir un parámetro físico desconocido en base a
la observación.
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Determinar parámetros físicos relevantes de los planetas con satélites.
Conocimientos previos
Descripción
A partir de imágenes de los satélites galileanos de
Júpiter se determinará el período de rotación y la distancia al planeta. Con
estos valores se aplicará la tercera Ley de Kepler para determinar la masa del
planeta. Con
la medición del radio de Júpiter se puede estimar la densidad del planeta.
Materiales
-
Secuencia de imágenes de Júpiter y
los satélites galileanos tomada cada 1 hora.
-
Regla o Software para tratamiento de imágenes.
-
Distancia de la Tierra a Júpiter el día que se
realizó la observación.
Procedimiento
1. Identificación de los
satélites:
a)
Se fija un origen del
sistema de coordenadas que puede ser el extremo inferior izquierdo de la
imagen. Se miden las coordenadas X e Y de cada satélite y las coordenadas del
centro de Júpiter. Se construye la siguiente tabla:
Coordenadas de Júpiter: XJ = ….. YJ = …..
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Posición
1
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Posición
2
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Posición
3
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Posición
4
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Posición
5
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Posición
6
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t1 =
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t2 =
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t3 =
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t4 =
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t5 =
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t6 =
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Satélite
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X
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Y
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d
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X
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Y
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d
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X
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Y
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d
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X
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Y
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d
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X
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Y
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d
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X
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Y
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D
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A
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B
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C
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D
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La distancia d se calcula como d =
También se puede intentar
medir la distancia d de cada posición directamente sin tener que medir las
coordenadas X e Y.
b)
Graficar las distancias para
cada posición de cada satélite en función del tiempo. Se observará que por lo
menos uno de los satélites se "frena" (o sea la distancia deja de
crecer). Aquel que se "frene" mas cerca de Júpiter es el satélite Io. Se
calculan las pendientes de las curvas restantes como: p = (d4 - d1) / (t4
- t1) . La pendiente es una
medida de la velocidad de desplazamiento del satélite proyectada sobre el plano
del cielo. A mayor velocidad menor semieje de la órbita, por tanto si se
ordenan las pendientes de mayor a menor tendremos a los satélites Europa,
Ganímedes y Calisto.
2.
Cálculo del Período
Orbital de Io
Asumimos una órbita
circular (ver figura)
Los ángulos I1 J
I2, I2 J I3,, I3 J I4, etc. son
iguales ya que las imágenes fueron tomadas cada una hora
Los
segmentos I1 J = I2 J = .... = I5 J son
iguales, por ser el radio de la órbita
del satélite
Las distancias K1J,
K2J, … son las distancias que medimos en la parte anterior.
Por tanto puedo
calcular los ángulos como:
I1
J I5 = arccos(K1J / I5 J)
I2
J I5 = arccos(K2 J / I5 J)
....
3.
Cálculo
del semieje de la órbita de Io
Conociendo
la escala de placa (s [arcsec/pix] o [arcsec/mm]) y la distancia de la Tierra
Júpiter (D [m]) el
día de la observación, se estima el radio orbital de Io.
Sea d la distancia
angular máxima de Io a Júpiter que
medimos en píxeles
Radio
orbital a = d
´ s
´ D [m]
206265
4.
Masa de Júpiter
Se
aplica la tercera Ley de Kepler para estimar la masa.
a3
/ T2 = GM / (4
π2)
Cte.
de gravitación
universal - G =
6.67x10-11 Nm2/Kg2
Despejando
M = 4π
2 a3
/ (G T2)
5.
Radio
Se mide en la imagen el diámetro angular y se transforma en
diámetro lineal con una fórmula análoga a la usada para calcular el semieje de
la órbita de Io.
6.
Densidad
Con la masa y radio
estimados calculamos la densidad como:
r
= M
/ (4
π
R3 / 3)
Temas de discusión grupal:
-
Comparar
la masa de Júpiter con la del Sol y la Tierra.
-
Comparar
los radios y las densidades.
-
Comentar
la clasificación de planetas en terrestres y jovianos.
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